terça-feira, junho 15, 2021

Fórmulas Matemáticas no blogue

 

Cada vez é mais fácil publicar textos com fórmulas matemática na internet (se se souber escrever em LATEX) usando o sistema MathJax.

Pode-se ver como funciona nesta página.

Exemplos:

Considere a função $g$ definida por

$$g(x)=
      \begin{cases}
        \sin{x}+x&\text{se $-2\pi < x \leq 0$}\\
        2x&\text{se $0<x<1$}\\
        sgn{(-x+2)}+1&\text{se $x \geq 1$}
      \end{cases}$$
     
     onde a função $sgn$ representa a função sinal definida por

$$sgn(x)=
      \begin{cases}
        -1&\text{se $x < 0$}\\
        0&\text{se $x=0$}\\
        1&\text{se $x>0$}
      \end{cases}$$

a) Esboce o gráfico da função $g$ e indique o seu domínio, o seu contradomínio e o seu domínio de continuidade (conjunto de pontos de continuidade).
b) Determine a primeira derivada da função $g$; justifique a sua conclusão.
c) Determine a segunda derivada da função $g$.
d) Determine, justificando convenientemente, os intervalos de monotonia, extremos, concavidades e pontos de inflexão de $g$.
e) Indique, justificando, se $g$ é ou não invertível.
f) Mostre que a reta tangente ao gráfico de $g$ em $(-\pi/2,g(-\pi/2))$ passa por $(2,g(2))$.
g) Existe uma reta tangente ao gráfico de $g$ em $(2,g(2))$? Justifique a resposta.
   
(questão da Primeira Frequência de Análise Matemática I do Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores realizada em 9 de novembro de 2020, Universidade de Coimbra)

terça-feira, julho 21, 2020

Matemática para um mundo melhor




"Mathematics for a Better World"

"Matemática para um mundo melhor" é o tema para 2021 do Ano Internacional da Matemática.
Os detalhesirão aparecendo na página oficial do "International Day of Mathematics".
Os interessados em receber mais informações devem insscrever-se nesta página.

domingo, junho 14, 2020

Debate sobre "Instrução, Tecnologia, Informação"


A Associação Bento de Jesus Caraça (ABJC) é uma associação sem fins lucrativos, instituída a 14 de Julho de 2018, que tem por objectivo divulgar o pensamento de Bento de Jesus Caraça (1901-1948)uma das mais importantes personalidades portuguesas do século XX, com um trabalho ímpar nos planos cívico, cultural, social e científico, dando a conhecer a sua obra e promovendo a discussão em torno das suas  ideias e da sua actualidade. A ABJC tem também por objectivo promover a cultura integral, através da divulgação das ciências, das humanidades e das artes nas suas diversas expressões.

A presente crise, com raiz numa pandemia, impõe à cidadania comprometida criticamente com o nosso tempo, apanágio da ABJC, uma reflexão sobre as melhores respostas aos problemas sanitários, sociais e políticos provocados pelo COVID-19. Em particular, urge reflectir sobre as consequências actuais e futuras para a educação. Para o fazer a ABJC decidiu organizar um debate virtual sobre o tema "Instrução, Tecnologia, Informação" cuja descrição segue no cartaz que anexamos a esta mensagem.

A escolha da data de 25 de Junho para o debate, relaciona-se com a evocação da morte de Bento de Jesus Caraça ocorrida em 25 de Junho de 1948.

Contamos com a vossa participação e contamos com a vossa ajuda para divulgar o debate junto de potenciais interessados. Para poder participar, deve estar instalada previamente no vosso computador a aplicação zoom (pode ser obtida em https://zoom.us). Uma vez instalada a aplicação pode aceder-se à reunião através da ligação 

https://videoconf-colibri.zoom.us/j/98472256738?pwd=bWRSeUNFaVZlaWhOMkl6Q1l1UlFZdz09

usando como identificador   (ID) 984 7225 6738    e    senha   959769.

A Direcção da ABJC


quarta-feira, abril 15, 2020

domingo, março 15, 2020

Secrets of the Surface - official trailer 2020



Filmed in Canada, Iran, and the United States, Secrets of the Surface: The Mathematical Vision of Maryam Mirzakhani examines the life and mathematical work of Maryam Mirzakhani, an Iranian immigrant to the United States who became a superstar in her field. In 2014, she was both the first woman and the first Iranian to be honored by mathematics’ highest prize, the Fields Medal.

Mirzakhani’s contributions are explained in the film by leading mathematicians and illustrated by animated sequences. Her mathematical colleagues from around the world, as well as former teachers, classmates, and students in Iran today, convey the deep impact of her achievements. The path of her education, success on Iran’s Math Olympiad team, and her brilliant work, make Mirzakhani an ideal role model for girls looking toward careers in science and mathematics.


Secrets of the Surface - official trailer 2020 from Zala Films on Vimeo.


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segunda-feira, março 13, 2017

“Perfil dos alunos à saída da escolaridade obrigatória”


A DGE colocou à discussão pública o documento com o título em epígrafe, resultado do trabalho de um grupo coordenado por Guilherme de Oliveira Martins. Eis a minha contribuição para o debate:



PRINCÍPIOS

Os princípios enunciados são demasiado gerais e não parece terem em conta o facto de se dirigirem a 12 anos de escolaridade obrigatória. Se fossem só 9 anos que diferenças haveria? Não basta enunciar uma "matriz de conhecimentos, capacidades e atitudes", parece-me essencial apresentar metas mais específicas e exigentes. Não basta defender que se deve fazer "a gestão flexível do currículo, do trabalho conjunto dos professores sobre o currículo, do acesso e participação dos alunos no seu próprio processo de formação e construção de vida" é preciso apontar um perfil mais ativo e concreto. Será que este enunciado seria diferente se fosse para o século XX? Provavelmente não. Onde está aqui a especificidade do século XXI? Dizer que é preciso "conseguir moldar-se a novos contextos e novas estruturas" é pouco. Que contextos previsíveis? Que estruturas serão novas? Este não será certamente um perfil para 100 anos, mas o que nós vemos hoje já nos deveria indicar algo de mais concreto.



VISÃO

Mais uma vez a visão aparece demasiado generalista e algo repetitiva: que diferença entre "questionar criticamente a realidade" e "capaz de pensar critica e autonomamente"? Uma demasiada generalidade corre o risco de se tornar ineficaz e ser ignorada nos currículos concretos de cada disciplina. Deveria ser possível apresentar uma visão mais concreta e focada, nomeadamente no que diz respeito às áreas fundamentais. Estão enunciadas algumas, mas parece-me que faltam três: Matemática, Computação e Educação Física. Deveria ser, por exemplo, algo como: “Artes, as Humanidades, a Educação Física, a Matemática, a Ciência e Tecnologia e a Computação”.


VALORES
Nesta secção, muito século passado, falta pelo menos algo de decisivo no nosso século XXI de acesso muito fácil à informação e a possibilidade de difusão rápida em redes sociais criando espaço por exemplo para uma “invasão” de notícias falsas ou distorcidas propositadamente:

Integridade na difusão da informação: Respeitar a autoria do um texto não o reproduzindo, total ou parcialmente, seja por que meio for, sem a respetiva atribuição de autoria original; difundir apenas informação segura, contribuindo para um melhor esclarecimento de todos.



COMPETÊNCIAS CHAVE

Não me parece que na secção “Linguagens e textos” o enunciado seja coerente com o resto do documento, não promovendo de modo nenhum um “ensino de métodos que permitam ver o contexto e o conjunto, em lugar do conhecimento fragmentado”. Com efeito ao enunciar que “utilizar de modo proficiente diferentes linguagens simbólicas associadas às línguas (língua materna e línguas estrangeiras), à literatura, à música, às artes, às tecnologias, à matemática e à ciência” está-se a separar implicitamente cada disciplina nas suas “diferentes linguagens simbólicas associadas”. Ora, o próprio programa PISA da OCDE promove uma visão integrada do conhecimento e o enunciado do presente documento deveria refletir tal de forma muito clara. Veja-se por exemplo o item “EDIFÍCIOS ALTOS” que consta dos itens libertos e está classificado na área “Literacia de Leitura” (“Literacia de Leitura – itens libertos 2009”, IAVE.). A interpretação do gráfico fornecido (pg 30) não é uma competência de “literacia matemática” estrita mas sim de “literacia de leitura”. Veja-se ainda o item liberto “LAGO CHADE” (“Literacia de Leitura – itens libertos 2000”, IAVE, pg 4.) cujo enunciado contém dois gráficos de tipos diferentes. O enunciado desta competência no documento precisa de promover uma visão integrada das abordagens curriculares.

Na secção “Raciocínio e resolução de problemas” o enunciado é muito pobre, sendo que a expressão “processo lógico que permite aceder à informação, interpretar experiências e produzir conhecimento” fornece uma ideia muito redutora do que é a resolução de problemas e dos possíveis raciocínios para a abordar, sendo muito próximo de um mero “exercício” que se aprende por imitação e se repete sem questionar. No programa PISA, e apenas num contexto dirigido a alunos de 15 anos, aparece algo de muito mais rico tanto na componente “Resolução de Problemas” interdisciplinares em 2003 como em 2012 na componente “Creative Problem Solving”, como finalmente em 2015 na componente “Collaborative Problem Solving”. A característica interdisciplinar (ou multidisciplinar) deveria ser enfatizada. No documento “PISA 2003 Assessment Framework: Mathematics, Reading, Science andProblem Solving Knowledge and Skills (OECD, 2003)” aparece a seguinte definição muito mais rica de competências na área da resolução de problemas: “… an individual’s capacity to use cognitive processes to confront and resolve real, cross-disciplinary situations where the solution path is not immediately obvious and where the content areas or curricular areas that might be applicable are not within a single subject area of mathematics, science or reading ”. E em 2010 acrescenta-se ainda uma componente que tem a ver com a capacidade de investir (persistir) na resolução de problemas por os reconhecer úteis para a sua vida de cidadão: “willingness to engage with such situations in order to achieve one’s potential as a constructive and reflective citizen”.

Na área “Saber técnico e tecnologias” o enunciado é demasiado genérico cabendo praticamente tudo na expressão “manipular e manusear materiais e instrumentos diversificados”. Deve haver uma componente mais explícita, envolvendo competências matemáticas e competências informáticas explícitas que devem ser dominadas por todos e que devem estar presentes em todas as disciplinas. Não se compreende que tendo os alunos acesso a um manancial de informação na internet não o saibam usar por não saberem sequer navegar de forma inteligente. Por exemplo, no estudo “PISA2009 Results: Students On Line Digital Technologies and Performance (Volume VI)” concluiu-se que “PISA results show that even when guidance on navigation is explicit, significant numbers of students still cannot locate crucial pages. The digital reading assessment offers powerful evidence that today’s 15-year-olds, the “digital natives”, do not automatically know how to operate effectively in the digital environment, as has sometimes been claimed” (pg 19).

Na área “Consciência e domínio do corpo” as competências enunciadas são extremamente redutoras. Numa época em que se sabe que a atividade física regular é fundamental para a evolução do ser humano, com repercussões ao nível do rendimento escolar (ver por exemplo "Alunos quefazem mais exercício físico têm melhores resultados escolares"), o século XXI exige mais do que o enunciado estreito apresentado.



IMPLICAÇÕES PRÁTICAS

Nas implicações práticas falta o fundamental: como deve o currículo ser estruturado de modo a contemplar os princípios enunciados?





COMENTÁRIO GERAL/OBSERVAÇÕES

Deve haver uma componente relativa às competências matemáticas transversais muito mais forte, como bem assinala António de Figueiredo: “competências matemáticas (...) porque as matemáticas estão hoje na base de tudo quanto são algoritmos, e o mundo é hoje mais gerido por algoritmos do que por pessoas (...) porque as matemáticas estão hoje na base da análise maciça de dados, e grande parte das grandes decisões deste mundo resultam da análise maciça de dados (...) porque as competências matemáticas, na sua natureza transversal, se fundem e confundem com as de computação (...) porque esse casamento entre matemática e computação é o instrumento mais poderoso que a Humanidade alguma vez inventou (...) porque a transversalização desse casamento invade todos os domínios, incluindo as humanidades". (Que Competências para as Novas Gerações ? [II] )

Já no texto “Competências matemáticas no final da escolaridade obrigatória” (“A página da Educação”, nº 208, pg. 48) chamava a atenção para as novas exigências matemáticas para o cidadão do século XXI e penso que o documento deve refletir tal componente.